Fonctions génératrices et applications

On utilisera principalement cette fonction génératrice comme une fonction définie sur [0, 1]. gX est C∞ sur ]− 1, 1[ on a gX(0) = P(X = 0), gX(1) = 1,P(X = n) = g X (0)/n!. Proposition 1. Soient X et Y de variables aléatoires indépendantes, de fonctions génératrices respectives gX et gY . Alors la fonction génératrice de X + Y est gX+Y = gXgY . Démonstration. Pour tout s, gX+Y (s) = E[sX+Y ] = E[sX ]E[sY ]. Exemple 1 (distributions classiques). — X ∼ Ber(p) : gX(s) = 1− p+ ps ; — X ∼ Bin(n, p) : gX(s) = (1− p+ ps)n ; — X ∼ Geo(p) : gX(s) = ∑ n≥1 s n(1− p)n−1p = ps 1−(1−p)s .